Архив метки: умняк

V постулат без картинок

Аналитическая геометрия позволяет просто и наглядно доказать V постулат Эвклида. Если оси взаимоопределяются как y = x * 0 и x = y * 01, а прямая ясно и однозначно определяется через y = ax + b, то доказательство V постулата очевидно:

y = ax и y’ = a’x + b — прямые.

1. При a = a’ (равенстве углов наклона и нулевом угле между собой) и b ≠ 0 (ненулевом смещении) существует ли x, при котором y(x) = y’(x) (общая точка для обеих прямых)?

ax + 0 = ax + b => b = 0 => такого x не существует по условию, y(x) – y’(x) = b при любом x, а прямая с наклоном a, проходящая через заданную точку, задаётся только значением b, поэтому она единственна для любого b.

Эквидистантность параллельных и единственность параллельной, проходящей через заданную точку, доказаны.

2. При a ≠ a’ (ненулевом угле) может ли быть, что x, при котором y(x) = y’(x), не существует (прямые не пересекаются)?

ax = a’x + b => (a – a’) * x = b => x = b / (a – a’) => при заданных условиях такое x всегда есть (a – a’ ≠ 0), таким образом прямые, имеющие ненулевой угол между собой, всегда имеют общую точку.

Пятый постулат в исходной формулировке доказан.

Проблема V постулата, на мой взгляд,  в недостаточном определении прямой в аксиоматике Эвклида, кое и дало возможность криволинейщикам называть «прямой» всё, что им угодно. Аналитическая геометрия даёт такое определение, из которого доказательство V постулата Эвклида следует практически как тавтология. Определение прямой через численное отношение не оставляет никаких лазеек криволинейщикам — прямая не может менять своё направление, и смысл понятия «прямая» невозможно извратить словами. Отсутствие же однозначного определения прямой ведёт к девальвации и других понятий — угла, плоскости, расстояния, да и самого пространства, которое, как теперь всем «известно», можно «искривлять». Возникает также и философский вопрос: если у вас больше нет ничего прямого, то чем вы собираетесь измерять кривое? Что вы к нему приложите? Знаете, как криволинейщики предлагают измерять «углы» в своих «геометриях»? По касательным! А где их взять, эти касательные? А нет их больше — «Вы и убили-с…» © А если всё же помимо «прямых» должны существовать ещё и настоящие прямые (касательные), то тем самым вскрывается факт вторичности альтернативных «геометрий» по отношению к Эвклидовой планиметрии, ибо первые никак не могут обойтись без прямого инструментария для описания своих объектов.

1 Проблема деления на ноль в декартовой АГ решается, на мой взгляд, просто: оси равнозначны, а потому (y = x / 0) <≡> (x = y * 0) и наоборот.

И снова о Пятом

1. Доказательство суммы углов треугольника без 5 постулата.

2π = 3π — (α + β + γ)

α + β + γ = π

2. Доказательство существования прямоугольника.

3. Доказано. А, забыл — а может быть любое, поэтому у АВ и СD нет точки пересечения.

Скоро грянет буря?

3

Если ученых избирательно пичкают только информацией от одинаково мыслящих коллег, если ученых наказывают за то, что они не привлекают надлежащего внимания к своим работам, если ученым сложно покинуть область исследований, когда она уже ничего не сулит, то нельзя рассчитывать, что они будут объективными. Однако это именно та ситуация, в которой мы сегодня находимся. И мы все ее принимаем…

Наша неспособность – а может даже и нежелание – ограничивать влияние социальных факторов и вкусовых предпочтений в научных сообществах — это, на мой взгляд, серьезнейший системный сбой. Мы не отстаиваем ценности нашей дисциплины.

И — немного поржать:

ЛОЖНОЕ СЕБЯЛЮБИЕ, УЗКИЙ ЭГОИЗМ, НЕПОНИМАНИЕ ОБЩЕЧЕЛОВЕЧЕСКОГО И СОБСТВЕННОГО БЛАГА (после меня — хоть потоп, лишь бы мне бы ладно было, а там — весь свет гори огнем).

Возьмем пример: новое правописание. Каждый считал себя образованным и грамотным, а прочих, простых людей малограмотными. Нововведение сделало обратное. Разве это не обидно, в особенности инертным людям и старикам! Опровержение какого-нибудь ложного открытия еще тягостнее. Положим, опыт отверг гипотезу относительности (Эйнштейн). Сколько трудов было употреблено учеными для её усвоения, сколько студентов ломало над ней голову — и вдруг это оказалось вздором. И унизительно, и как будто клад потеряли. Сколько было гордости перед другими, незнакомыми с учением — и все рухнуло. Приходится склонить голову и горько пожалеть о затраченном времени. Разве это приятно!

Постоянно отвергаются старые гипотезы и совершенствуется наука. И всегда этому более всего препятствуют ученые, потому что они от этой переделки более всего теряют и страдают.

Средним людям не больно, потому что они и не слыхали об этих гипотезах. Конечно, надо пожалеть и ученых, но сами они должны остерегаться и терпеть ложное унижение ради высших целей. Чтобы облегчить их страдания, нужна особенная к ним деликатность.

Это К. Э. Циолковский, если кому лень.

В продолжение (математическое)

Интересная мысль образовалась по поводу проблемы Ферма. Попробую поначалу обрисовать контекст.

В среде программеров слово «хакер» — это оскорбление, а вовсе не признание высокой квалификации. Хакер — это кодер, использующий нештатные дырки в языке для быстрого решения локальной задачи. Чем это плохо? Тем, что программы приходится часто править в связи, например, с изменением параметров и структуры. И «изящное» решение приводит к тому, что программа перестаёт работать на данном поле параметров. В результате человек (скорее всего, совсем другой) проливает литры пота, пытаясь понять, почему код перестал работать, и в конце концов обнаруживает, что кто-то до него «примотал изолентой». Конечно, он такого предшественника назовёт хакером и пидором (синонимы, ага).

Так вот, Герхард Фрей был типичным хакером — на основании случайного сходства уравнения Ферма и эллиптической кривой он привязал проблему Ферма к гипотезе Таниямы-Шимуры. К Уайлзу нет вопросов — за одно доказательство Таниямы-Шимуры он заслуживает памятника, но в целом данное доказательство теоремы Ферма — чистый хакинг, и повода для радости тут не видно.

А ведь Ферма писал, что он нашёл «поистине чудесное доказательство». Учтём, что в распоряжении Ферма не было гипотезы Таниямы-Шимуры, и многого другого не было. Интересно: теперь, когда доказательство зафиксировано и вознаграждено, кто-нибудь ещё сподвигнется найти то самое «чудесное доказательство», о коем и шла речь изначально? Что-то сомневаюсь.

ЗЫ. Сама история доказательства прекрасна, и доставляет кучу поводов для размышлений.

ЗЗЫ. А вот и более серьёзные заявки на ту же тему. Там же есть и доказательство, тянущее на «поистине чудесное». Проверить не могу, к сож. — плохо учился в школе. Не могу найти, кто мне прислал эту ссылку — математическая неделя прошла в диком угаре, более полутыщщи каментов — но дай ему Вышня здоровья и удачи!

Евклидово

Euklid

С удивлением узнал, что математики никак не могут пристроить пятый постулат Евклида — дадад, тот самый, о том, что параллельные прямые не пересекаются!

Аз, еслечесна, не вижу в том никакой проблемы. Пример решения:

  1. Прямые либо пересекаются, либо не пересекаются.
  2. Прямые пересекаются в точке.
  3. В точке пересечения между прямыми должен быть угол.
  4. Если нет угла, то нет и точки пересечения.
  5. Если нет точек пересечения, то прямые — параллельны.

Доказано, я щетаю. Готов к опровержениям.

ЗЫ. Лобачевские и Риманы, ловко пересекающие «параллельные прямые», вас, граждане, тупо разводят на ровном месте. Они придумывают кривое пространство, и в этом кривом пространстве проводят какбэ «прямые», хотя в кривом пространстве прямых быть не может (то, что пространство кривым быть не может, пока оставим за скобками). А эти кривые кагбэпрямые, они — да, пересекаются тока фпуть, как аффтар захочет.

А прямые должны быть по-честному прямыми, параллельные — по-честному параллельными. Тогда всё сойдётся 🙂

ЗЗЫ. Вообще-то всё ещё проще. Не надо теоремы, это действительно аксиома (тавтология, определение):

Непересекающиеся прямые — параллельны.

Тут тупо нечего добавить. В чём же тогда проблема?

УПД. Ознакомимшись с классическими попытками доказательства V постулата, закинул в копилочку ещё 5 коп.

  1. Имеем две совпадающие прямые. Все точки этих прямых совпадают. Угол меж ними равен нулю.
  2. Смещаем одну из этих прямых в сторону, не меняя угла. Все точки этой прямой перестают совпадать с точками второй прямой.
  3. Доказано.