Аналитическая геометрия позволяет просто и наглядно доказать V постулат Эвклида. Если оси взаимоопределяются как y = x * 0 и x = y * 0¹, а прямая ясно и однозначно определяется через y = ax + b, то доказательство V постулата очевидно:

y = ax и y’ = a’x + b — прямые.

1. При a = a’ (равенстве углов наклона и нулевом угле между собой) и b ≠ 0 (ненулевом смещении) существует ли x, при котором y(x) = y’(x) (общая точка для обеих прямых)?

ax + 0 = ax + b => b = 0 => такого x не существует по условию, y(x) – y’(x) = b при любом x, а прямая с наклоном a, проходящая через заданную точку, задаётся только значением b, поэтому она единственна для любого b.

Эквидистантность параллельных и единственность параллельной, проходящей через заданную точку, доказаны.

2. При a ≠ a’ (ненулевом угле) может ли быть, что x, при котором y(x) = y’(x), не существует (прямые не пересекаются)?

ax = a’x + b => (a – a’) * x = b => x = b / (a – a’) => при заданных условиях такое x всегда есть (a – a’ ≠ 0), таким образом прямые, имеющие ненулевой угол между собой, всегда имеют общую точку.

Пятый постулат в исходной формулировке доказан.

Проблема V постулата, на мой взгляд,  в недостаточном определении прямой в аксиоматике Эвклида, кое и дало возможность криволинейщикам называть «прямой» всё, что им угодно. Аналитическая геометрия даёт такое определение, из которого доказательство V постулата Эвклида следует практически как тавтология. Определение прямой через численное отношение не оставляет никаких лазеек криволинейщикам — прямая не может менять своё направление, и смысл понятия «прямая» невозможно извратить словами. Отсутствие же однозначного определения прямой ведёт к девальвации и других понятий — угла, плоскости, расстояния, да и самого пространства, которое, как теперь всем «известно», можно «искривлять». Возникает также и философский вопрос: если у вас больше нет ничего прямого, то чем вы собираетесь измерять кривое? Что вы к нему приложите? Знаете, как криволинейщики предлагают измерять «углы» в своих «геометриях»? По касательным! А где их взять, эти касательные? А нет их больше — «Вы и убили-с…» © А если всё же помимо «прямых» должны существовать ещё и настоящие прямые (касательные), то тем самым вскрывается факт вторичности альтернативных «геометрий» по отношению к Эвклидовой планиметрии, ибо первые никак не могут обойтись без прямого инструментария для описания своих объектов.

¹ Проблема деления на ноль в декартовой АГ решается, на мой взгляд, просто: оси равнозначны, а потому (y = x / 0) <≡> (x = y * 0) и наоборот.