Цырк настолько жгучий, что рекомендую дозировать. Сам за раз более 5 мин подряд не выдерживал — рука тянулась к отсутствующему в хозяйстве парабеллуму, причиняя фрустрацию и без того порванной в клочья психике.

Предвижу возражения: да, есть у нас тупые доценты, но не они же делают погоду! Тогда вот вам пример: что такое факториал помните? Который «n!»? Меня с детства царапал вопрос: а чоэта 0! = 1? Как-то оно не вяжется с определением — произведение 0 равно 0, не? Наконец-то удосужился залезть в педивикию и рассмотреть предмет повнимательнее. Да, мудрые математики очень грамотно обосновали этот момент:

(n – 1)! = n! / n; тогда при n = 1 получается (1 – 1)! = 1! / 1 = 1,

и типа всё сходится — уряяя! Вот только ряд, на котором факториалом оперируют, ноль не включает, а если бы включал, то любое n! = 0. И эту (казалось бы очевидную, вытекающую прямо из здравого смысла) неприятность никто из яйцеголовых (буквально штоле?) дядек не заметил. А ведь не бином Невтона — это ж уровень «крестики-нолеки»!

Страшно подумать, чему ещё меня успели научить.

ЗЫ. Для любителей головоломок: никогда не задумывались, почему 1 * –1 = –1? Чем, по-вашему, это обусловлено?

Формула: корень любой степени из любого целого числа может быть либо целым, либо иррациональным. Иначе: нецелый корень из целого числа всегда иррационален.
Доказательство:
Допустим, что корень некоей степени из целого числа может быть представлен в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Разложим числитель и знаменатель на простые множители вида m=i*j*…*k; n=d*e*…*f (такая факторизация, из основной теоремы арифметики, является единственной для каждого числа), и сократим одинаковые множители, если таковые есть, максимально упростив дробь. Если при этом знаменатель полностью сократился, получаем целое число и далее его не рассматриваем. В ином случае получаем дробь с полностью разными (несокращаемыми) наборами простых множителей в числителе и знаменателе.
Далее, умножаем число само на себя любое количество раз по правилу умножения дробей. Очевидно, что наборы множителей не изменятся в любом случае, изменятся только степени множителей, поэтому знаменатель никогда не сократится до 1, т.е. дробь не может быть целым числом в любой степени => не может быть корнем из целого числа, ЧТД.

Просьба ко снизошедшим до чтения этого идиотизма: встретите подобное доказательство на информационных просторах — дайте знать, буду премного благодарен. Хочу знать, изобрёл ли велосипед, или и впрямь сподобился обогатить сей мелочью математическую кладовую — сам пока не нашёл аналогов.

ЗЫ. Дочитавшим до конца — бонус! Крайне увлекательная книжка о становлении, блеске и нищете математики. Цытато:

…математики сочли своим долгом критически пересмотреть полученные ранее результаты — и обнаружили нечетко сформулированные понятия, отсутствие доказательств в одних случаях и неадекватность существующих доказательств в других, противоречия и полную неразбериху относительно того, что правильно и что неправильно в полученных ранее результатах. В конце XVIII в. математики осознали, что созданная ими наука отнюдь не была тем образцом строгости, каким ее считали.